[행렬대수] 행렬의 연산 - (덧셈, 뺄셈, 스칼라곱)

행렬의 기본 연산

1. 행렬의 덧셈

같은 크기의 두 행렬에서 대응하는 원소끼리 더합니다.

조건: 두 행렬의 행과 열의 개수가 같아야 함

공식: (A + B)의 (i,j) 원소 = A의 (i,j) 원소 + B의 (i,j) 원소

예시:

A = [2  3]    B = [1  4]
    [1  5]        [2  3]

A + B = [2+1  3+4] = [3  7]
        [1+2  5+3]   [3  8]

2. 행렬의 뺄셈

같은 크기의 두 행렬에서 대응하는 원소끼리 뺍니다.

조건: 두 행렬의 행과 열의 개수가 같아야 함

공식: (A - B)의 (i,j) 원소 = A의 (i,j) 원소 - B의 (i,j) 원소

예시:

A = [5  8]    B = [2  3]
    [7  4]        [1  6]

A - B = [5-2  8-3] = [3  5]
        [7-1  4-6]   [6 -2]

3. 스칼라곱 (상수배)

행렬의 모든 원소에 같은 상수를 곱합니다.

공식: (kA)의 (i,j) 원소 = k × A의 (i,j) 원소 (k는 상수)

예시:

A = [2  -1]    k = 3
    [4   0]

3A = [3×2  3×(-1)] = [6  -3]
     [3×4  3×0  ]   [12  0]

4. 더 복잡한 예시

3×3 행렬의 덧셈

A = [1  2  3]    B = [2  0  1]
    [4  5  6]        [3  1  2]
    [7  8  9]        [1  4  0]

A + B = [1+2  2+0  3+1] = [3  2  4]
        [4+3  5+1  6+2]   [7  6  8]
        [7+1  8+4  9+0]   [8  12 9]

스칼라곱과 덧셈의 조합

A = [1  2]    B = [3  1]
    [3  4]        [2  5]

2A + 3B = 2[1  2] + 3[3  1]
          [3  4]   [2  5]

        = [2  4] + [9  3]
          [6  8]   [6  15]

        = [11  7]
          [12  23]

성질

덧셈과 뺄셈의 성질

• 교환법칙: A + B = B + A
• 결합법칙: (A + B) + C = A + (B + C)
• 영행렬: A + O = A (O는 모든 원소가 0인 행렬)

스칼라곱의 성질

• 결합법칙: k(lA) = (kl)A
• 분배법칙:
  • k(A + B) = kA + kB
  • (k + l)A = kA + lA

주의사항

1. 행렬의 덧셈과 뺄셈은 반드시 같은 크기의 행렬끼리만 가능합니다.
2. 스칼라곱은 어떤 크기의 행렬에도 적용할 수 있습니다.
3. 행렬의 연산은 원소별로 수행됩니다.