[행렬대수] 행렬의 연산 - (행렬의 곱셈)

행렬의 곱셈

1. 행벡터 × 열벡터 곱셈

행벡터(1×n)와 열벡터(n×1)의 곱은 스칼라(1×1)가 됩니다.

공식: [a₁ a₂ ... aₙ] × [b₁; b₂; ...; bₙ] = a₁b₁ + a₂b₂ + ... + aₙbₙ

예시:

[2  3  1] × [4]   = 2×4 + 3×1 + 1×5 = 8 + 3 + 5 = 16
            [1]
            [5]

2. m × p 행렬과 p × n 행렬의 곱셈

조건: 첫 번째 행렬의 열 개수 = 두 번째 행렬의 행 개수

결과: m × n 행렬

공식: (AB)의 (i,j) 원소 = A의 i번째 행과 B의 j번째 열의 내적

2-1. 기본 예시

A = [1  2]    B = [5  6]
    [3  4]        [7  8]

AB = [1×5+2×7  1×6+2×8] = [19  22]
     [3×5+4×7  3×6+4×8]   [43  50]

2-2. 실생활 예시: 상품 가격 계산

세 지역(동대문, 남대문, 영등포)의 세 상품(사과, 당근, 수박) 지역별 가격과 세 업체(갑, 을, 병)의 구매 수량을 이용한 계산

지역별 가격 행렬 A (3×3): 지역 × 상품

           사과  당근  수박
동대문  [1000  500  3000]
남대문  [1100  480  2800]
영등포  [ 950  520  3200]

업체별 구매 수량 행렬 B (3×3): 상품 × 업체

        갑   을   병
사과  [ 10  15   8 ]
당근  [ 12  10   6 ]
수박  [  8  20  12 ]

총 금액 계산 (A × B):

AB = 동대문: [1000×10+500×12+3000×8  1000×15+500×10+3000×20  1000×8+500×6+3000×12]
     남대문: [1100×10+480×12+2800×8  1100×15+480×10+2800×20  1100×8+480×6+2800×12]
     영등포: [950×10+520×12+3200×8   950×15+520×10+3200×20   950×8+520×6+3200×12]

   = [40400  80000  47000]
     [39560  77300  42480]
     [41540  83700  48720]

해석:

• 갑이 동대문에서 구입한 과일값의 총액: 40,400원
• 갑이 남대문에서 구입한 과일값의 총액: 39,560원
• 갑이 영등포에서 구입한 과일값의 총액: 41,540원
• 을이 동대문에서 구입한 과일값의 총액: 80,000원
• 을이 남대문에서 구입한 과일값의 총액: 77,300원
• 병이 영등포에서 구입한 과일값의 총액: 48,720원

3. 행렬 곱셈의 성질

3-1. 기본 성질

• 결합법칙: (AB)C = A(BC)
• 분배법칙: A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC
• 교환법칙 성립하지 않음: 일반적으로 AB ≠ BA

3-2. 교환법칙이 성립하지 않는 예시

A = [1  2]    B = [0  1]
    [3  4]        [1  0]

AB = [1×0+2×1  1×1+2×0] = [2  1]
     [3×0+4×1  3×1+4×0]   [4  3]

BA = [0×1+1×3  0×2+1×4] = [3  4]
     [1×1+0×3  1×2+0×4]   [1  2]

AB ≠ BA

3-3. 단위행렬과의 곱셈

단위행렬 I와의 곱셈에서는 교환법칙이 성립합니다.

I = [1  0]    A = [a  b]
    [0  1]        [c  d]

AI = IA = A

4. 곱셈이 불가능한 경우

예시: 2×3 행렬과 2×3 행렬

A = [1  2  3]    B = [4  5  6]
    [4  5  6]        [7  8  9]

A의 열 개수(3) ≠ B의 행 개수(2)
따라서 AB는 계산할 수 없음

5. 실용적인 팁

5-1. 곱셈 가능 여부 확인

• A가 m×p, B가 q×n일 때
• p = q이면 곱셈 가능 (결과: m×n)
• p ≠ q이면 곱셈 불가능

5-2. 계산 순서

1. 첫 번째 행렬의 행과 두 번째 행렬의 열을 선택
2. 대응하는 원소끼리 곱해서 더함
3. 모든 행과 열의 조합에 대해 반복

5-3. 검산 방법

• 결과 행렬의 크기 확인
• 특정 원소 몇 개를 직접 계산해서 확인
• 행렬 곱셈의 성질 활용